Equação Diofantina

Quando se procuram soluções inteiras (e às vezes racionais) para equações algébricas dos seguintes tipos:

• x^2+ y^2 = z^2, por exemplo, que possui infinitas soluções representadas pelas ternas ordenadas (x,y,z) conhecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior de um triângulo retâmgulo - a hipotenusa, e x e y seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), somente para citar alguns exemplos. um conjunto de fórmulas podem facilitar a obtenção das Ternas Pitagóricas: z = p^2+q^2, x=p^2-q^2, y = 2*p*q , onde p e q são combinações de números inteiros distintos, com p>q, como por exemplo 2 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocínio continua valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4. para 6 e 1; 6 e 2; etc. Há uma justificativa algébrica para tal fato? Este processo funcionará sempre?
• Equações algébricas que possibilitem calcular todos os números inteiros positivos que possam ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos, como por exemplo: 47=36+9+1+1. Para "facilitar", os quadrados perfeitos podem ser repetidos, como no exemplo dado; pode-se ainda, adaptar o 0 como um quadrado perfeito, como em: 10=9+1+0+0 ao invés de 10= 4+4+1+1
  
• existe um livro muito conhecido, eu gostava de ler "o homem que calculava", vocês podem olhar o seguinte video em Youtube http://www.youtube.com/watch?v=-tTD8XU2s2I